Thèse de Doctorat de Mathématiques à l'Université de Strasbourg , soutenue le 12 juin 2014.
Titre : Systèmes d'équations différentielles linéaires singulièrement perturbées et développements asymptotiques combinés.
Directeur : Reinhard Schäfke (Professeur, IRMA, Strasbourg).
Jury :
Mots clés : Points tournant, développement asymptotique combiné, séries Gevrey, perturbation singulière, équation différentielle complexe.
Lien : https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01021178/
Ma thèse est consacrée à l'étude d'équations différentielles ordinaires singulièrement perturbées. Les équations considérées sont à données analytiques dans certains domaines complexes et font intervenir un petit paramètre, dit de perturbation, qui est en facteur de la dérivée d'ordre le plus élevé. Ces équations peuvent de plus présenter des singularités, appelées points tournants. De telles équations différentielles apparaissent fréquemment dans des problèmes de physique, de chimie ou de biologie, ce qui a motivé leur étude. Elles servent notamment de modèles en mécanique quantique où le paramètre de perturbation est alors la constante de Planck des physiciens. Un exemple connu est l'équation de Schrödinger. Classiquement on s'intéresse au comportement des solutions d'une telle équation lorsque l'on fait tendre le paramètre de perturbation vers 0. Pour mieux comprendre leur comportement, certains mathématiciens ont pensé à simplifier ces équations différentielles, en les réduisant à des équations différentielles polynomiales régulièrement perturbées. On parle de simplification uniforme au voisinage de points tournants. Si certains cas ont été traités avec succès, d'autres sont restés des problèmes ouverts. Dans ma thèse, je propose une nouvelle méthode qui permet de gérer ces derniers, pour des équations différentielles du second ordre notamment, mais également d'ordre arbitraire. Je généralise ainsi un théorème connu de Sibuya. Cette méthode utilise la théorie Gevrey des développements asymptotiques combinés, récemment introduite par Fruchard et Schäfke. J'y contribue également en démontrant des théorèmes généraux, dont un de factorisation ; ce dernier est le point clé de la preuve de mon résultat de simplification uniforme.
C. Hulek, Uniform simplification in the full neighborhood of a turning point, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. 353 (2015), no. 9, 789 793.
J'ai présenté mes travaux de recherche au cours de quatre conférences internationales ayant eu lieu à Strasbourg, Valladolid (Espagne), Kyoto (Japon) et Limoges. J'ai également été invitée à exposer ces derniers dans différents séminaires d'équipe : Strasbourg, Mulhouse, Lille, Limoges et Toulouse.